Penyelesaian Umum Persamaan Kubik
Setiap persamaan kubik ax3+bx2+cx+d = 0 selalu bisa disederhanakan menjadi bentuk y3 + py + q = 0
Setelah kita memiliki bentuk yang sederhana ini, langkah berikutnya adalah substitusi nilai y dengan m - p/(3m) . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut maka persamaan kubik akan bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut bisa kita lakukan sebagai berikut :
y3 + py + q = 0
Jika kedua ruas dikali dengan m3 maka diperoleh
Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m3, sehingga kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .
Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :
Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut adalah sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik memiliki akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan memiliki tiga akar real
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x3-6x2+9x-1= 0
Jawab :
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai x = y - b/(3a), sehingga dalam hal ini adalah x = y + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(y + 2)3-6(y + 2)2+9(y + 2)-1= 0
y3 + 3y2.2 + 3y.22 + 23 - 6(y2 + 4y + 4) + 9y + 18 - 1 = 0
y3 + 6y2 + 12y + 8 - 6y2 - 24y - 24 + 9y + 17 = 0
y3 - 3y + 1 = 0
Selanjutnya kita substitusikan nilai y = m - p/(3m) atau y = m + 1/m, dengan demikian kita peroleh :
Jika kedua ruas dikali m3 maka diperoleh :
m6 + 1 + m3 = 0
m6 + m3 + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :
Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini memiliki 3 akar real berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di atas bisa ditulis sbb :
Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita bisa mengubah sebagai berikut :
m3 = cos 120o + i sin 120o atau m3 = cos 480o + i sin 480o atau m3 = cos 840o + i sin 840o
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh :
m1 = cos 40o + i sin 40o atau m2 = cos 160o + i sin 160o atau m3 = cos 280o + i sin 280o
Karena
maka
Perhatikan bahwa
Dengan demikian
Dengan cara yang sama diperoleh
dan
karena
x = y + 2
maka
x1 = y1 + 2 = 2cos 40o + 2
x2 = y2 + 2 = 2cos 160o + 2
x3 = y3 + 2 = 2cos 280o + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan x3-6x2+9x-1= 0 adalah
{2cos 40o + 2, 2cos 160o + 2, 2cos 280o + 2}
Setelah kita memiliki bentuk yang sederhana ini, langkah berikutnya adalah substitusi nilai y dengan m - p/(3m) . Dengan mensubstitusikan nilai tersebut maka persamaan kubik akan bisa disederhanakan menjadi persamaan kuadrat. Langkah tersebut bisa kita lakukan sebagai berikut :
y3 + py + q = 0
Jika kedua ruas dikali dengan m3 maka diperoleh
Bentuk terakhir ini merupakan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam m3, sehingga kita tinggal memasukkan ke dalam rumus ABC .
Sesuatu yang muncul di bawah akar pada hasil terakhir ini kita sebut diskriminan, yaitu :
Adapun sifat-sifat diskriminan tersebut adalah sebagai berikut :
D > 0 maka persamaan kubik memiliki 1 akar real dan 2 akar tidak real
D = 0 maka persamaan kubik memiliki akar kembar (bisa 2 akar kembar atau 3 akar kembar)
D < 0 maka persamaan kubik akan memiliki tiga akar real
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x3-6x2+9x-1= 0
Jawab :
Yang pertama kita lakukan aadlah substitusikan nilai x = y - b/(3a), sehingga dalam hal ini adalah x = y + 2. Dengan demikian persamaan menjadi :
(y + 2)3-6(y + 2)2+9(y + 2)-1= 0
y3 + 3y2.2 + 3y.22 + 23 - 6(y2 + 4y + 4) + 9y + 18 - 1 = 0
y3 + 6y2 + 12y + 8 - 6y2 - 24y - 24 + 9y + 17 = 0
y3 - 3y + 1 = 0
Selanjutnya kita substitusikan nilai y = m - p/(3m) atau y = m + 1/m, dengan demikian kita peroleh :
Jika kedua ruas dikali m3 maka diperoleh :
m6 + 1 + m3 = 0
m6 + m3 + 1 = 0
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus ABC maka diperoleh :
Jika kita perhatikan, nilai D < 0, dengan demikian persamaan ini memiliki 3 akar real berbeda. Untuk memecahkan persamaan ini kita perlu memahami bilangan kompleks. bentuk di atas bisa ditulis sbb :
Jika kita tulis dalam bentuk polar maka kita bisa mengubah sebagai berikut :
m3 = cos 120o + i sin 120o atau m3 = cos 480o + i sin 480o atau m3 = cos 840o + i sin 840o
Dengan mengakarkan maka berarti kita tinggal membagi sudut dengan 3, maka diperoleh :
m1 = cos 40o + i sin 40o atau m2 = cos 160o + i sin 160o atau m3 = cos 280o + i sin 280o
Karena
maka
Perhatikan bahwa
Dengan demikian
Dengan cara yang sama diperoleh
dan
karena
x = y + 2
maka
x1 = y1 + 2 = 2cos 40o + 2
x2 = y2 + 2 = 2cos 160o + 2
x3 = y3 + 2 = 2cos 280o + 2
jadi himpunan penyelesaian dari persamaan x3-6x2+9x-1= 0 adalah
{2cos 40o + 2, 2cos 160o + 2, 2cos 280o + 2}
Komentar