Jurnal : Metode matriks: mencari solusi partikulir persamaan deferensial linear orde dua tak homogen dengan koefisien konstanta

Metode matriks: mencari solusi partikulir  persamaan diferensial linear orde dua tak homogen dengan  koefisien konstanta

Zulmahdi Dailami

Jurusan Matematika, FMIPA-UT

E-mail: zaul@ka.ut.ac.id

 

Abstrak

Metode matriks adalah suatu rumus atau formula alternatif untuk mencari solusi partikulir persamaan diferensial (PD) linear orde dua tak homogen dengan koefisien konstanta , dengan ; . Metode ini diturunkan dari metode koefisien tak tentu dengan menggunakan konsep Matriks, lineari­tas, Identitas Euler, dan sifat-sifat solusi PD.

PENDAHULUAN

Tulisan ini merupakan hasil telaahan suatu metode yang disebut me­tode Matriks  yang telah dikembangkan oleh Herman Gollwitzer, Drexel University, Philadelphia (1994) untuk menentukan solusi pertikulir persamaan diferensial (PD) linear tak ho­mogen orde dua dengan koefisien konstanta. Metode Matriks adalah suatu metode relatif memiliki lang­kah-langkah pengerjaan yang cukup sederhana untuk mencari solusi partikulir. Metode ini dikembang­kan dengan menggunakan konsep-konsep dasar Mat­riks, linearitas, identitas Euler, dan sifat-sifat solusi PD.

Tujuan telaahan dalam tulisan ini adalah untuk menghasilkan suatu ru­mus atau formula solusi pertikulir yang lebih umum untuk PD linear tak ho­mogen dengan koe­fisien konstanta yang diturunkan dari metode Koefisien Tak Tentu. Kemudian, solusi partikulir yang diperoleh dengan metode Matriks ini dibandingkan dengan hasil solusi partikulir yang diperoleh dengan meng­gunakan metode Koefisien Tak Tentu. Untuk men­capai hal ini, digunakan be­berapa contoh.

Batasan-batasan  telaahan ini adalah PD Linear Orde Dua Tak Homogen dengan Koefisien Konstanta:

                                                     (1)

di mana p, q konstanta, dan  dengan  (bilangan kompleks) dan

.                                (2)

KONSEP PENDUKUNG

Metode-metode  yang  sudah  sangat  dikenal  dalam  penentuan solusi partikulir untuk PD Linear Orde Dua Tak Homogen dengan Koefisien Kon­stanta, antara lain, adalah metode Transformasi Laplace, Variasi Parameter, dan Koefisien Tak Tentu. Sebagaimana diketahui bahwa suatu metode selalu mempunyai keterbatasan-keterba­tasan dalam penggunaannya; antara lain, ruang lingkup masalah yang da­pat diselesai­kan dan kesederhanaan langkah-langkah pengerjaan. 

Untuk memudahkan pembahasan nantinya, berikut ini disajikan pengandaian solusi par­tikulir dengan mengunakan metode Koefisien Tak Tentu untuk bentuk-bentuk fungsi g(x).

polinom berderajat n. Solusi partikulir diandaikan:
a.  ;  dengan     konstanta	apabila 0 (nol)  bu­kan akar dari persamaan karakteristik PD ho­mogen.
b.  ; dengan     konstanta.	apabila 0 (nol) meru­pakan sa-lah satu akar dari persamaan karakteristik PD ho­mogen.

Tabel 1: Pengandaian solusi partikulir y_p, untuk

. g(x) merupakan perkalian suatu polinom  berderajat n dengan fungsi , b real. Solusi partikulir diandaikan sebagai berikut:
a.  ; dengan     konstanta.	apabila b bukan akar dari persa-maan karak­teristik PD homo-gen.
b.  ; dengan     konstanta.	apabila b merupakan salah satu akar dari persamaan karakteris­tik PD homogen.

Tabel  2: Pengandaian solusi partikulir y_p, untuk

atau , dengan Pn(x) polinom berderajat n. Solusi partikulir diandaikan sebagai berikut:
a.  ; dengan  dan  kon­stanta.	apabila  bu­kan akar kompleks dari persamaan karakteristik PD ho­mogen.
b.  ;      dengan  dan  kon­stanta.	apabila  akar kom-pleks dari persa­maan ka-rakteristik PD homogen.

Tabel  3:  Pengandaian solusi partikulir y_p, untuk  atau

                    

Terlihat bahwa dari ketiga tabel di atas ada keterkaitan antara solusi partikulir dan solusi PD homogennya, secara khusus, keterkaitan tersebut terdapat pada persamaan karakteristik PD Homogennya. Se­bagai ilustrasi dari aplikasi metode ini, perhatikan 3 (tiga) buah contoh berikut:

Contoh 1

Pandang PD: . Karena 0 merupakan akar karakteris­tik dari PD ho­mogen , maka pengandaian untuk solusi partikulir digunakan Ta­bel 1 bagian b, yaitu

 atau . 

Maka  dan . Substitusi  dan  ke PD, diperoleh:

 

atau .

Dari kesamaan di atas didapat 4 (empat) persamaan, yakni:

, ,  ,  .

Se­hingga diperoleh , ,  dan .

Jadi, solusi partikulirnya adalah .

Contoh 2

Pandang PD: . Karena -1 merupakan akar karakteristik dari PD homogen , maka pengandaian untuk solusi partikulir digunakan Tabel 2  bagian b, yaitu:

      .

Maka:

    

dan

    

Substitusi    dan    ke PD,  diperoleh:

    

atau

     .

Dari kesamaan di atas didapat 3 (tiga) persamaan, yakni  , dan . Sehingga  diperoleh , ,  dan .  Jadi, solusi partikulirnya adalah:

 atau .                                                          

Contoh 3

Pandang PD  Di sini  dan  dan akar-akar karakteristik dari PD homogen  adalah  dan   Karena   merupakan salah satu akar-akar karakteristik PD homogen, maka untuk mencari solusi khusus PD di atas digunakan pengan­daian yang terdapat pada Tabel 3 bagian b, yakni:

 . Maka

dan

    

Substitusi ke PD diperoleh

atau

     .

Pencoretan   menghasilkan . Penyamaan koefisien-koefisien dari sin x atau cos x didapat  dan  .  Jadi, .

Dari 3 (tiga) buah ilustrasi di atas,  dapat diambil kesimpulan bahwa lang­kah-langkah pengerjaan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu adalah se­bagai berikut:

          Menentukan persamaan karakteristik dari PD homogennya

          Mencari akar-akar persamaan karakteristik

          Memeriksa apakah salah satu dari akar-akar karakteristik sama dengan  a.

          Melakukan pengandaian untuk solusi partikulir y_p yang sesuai dengan kon­disi pada langkah 3, dan polinom pada ruas kanan.

          Menurunkan (mendiferensialkan)  y_p  dua kali

          Mensubstitusikan    ke PD tak homogen sehingga me­menuhi persamaan.

          Diperoleh n buah persamaan dan  n buah konstanta yang tidak diketahui, n = derajat polinomial + 1.

          Menentukan nilai konstanta-konstanta yang tidak diketahui dari 7), yang meru­pa­kan koefisien-koefisien dari polinom pengandaian untuk solusi par­tikulir

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pandang PD pada persamaan (1) 

,

dengan .

PD pada persamaan (1)  sering ditulis dalam bentuk operator diferensial  L,  yakni

,                                                              (3)

dengan ; dimana  dan .

 ditulis dalam bentuk perkalian matriks, diperoleh

                               (4)

Apabila dan a bukan merupakan salah satu akar dari persamaan karakteristik PD homogen

,                                                        (5)

 maka pengandaian solusi partikulir menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu adalah

,                                  (6)

dengan  konstanta.

  ( pada persamaan (6) ) ditulis dalam bentuk perkalian matriks akan menghasilkan

.                                (7)

  memenuhi  PD pada persamaan (1),  berarti

       .

Karena sifat linear dari operator diferensial  L,  diperoleh

       .                             (8)

Pandang  persamaan (8),  dengan menggunakan operator diferensial, diperoleh

,                                                                                 (9)

dengan  yang merupakan persamaan karakteristik PD homogen; dan selan­jutnya didapat:

,

      

       .

Dengan mensubstitusikan yang diperoleh di atas ke persamaan (8),  menghasil-kan:

                                                                   (10)

Dengan melakukan pemisalan , ,   , dan 

,

maka persamaan (10) menjadi

.                                                       (11)

Kemudian dengan melakukan pembatalan kanan, diperoleh

                                                                       (12)

Apabila P matriks non singular, maka terdapat matriks invers , se­hingga diperoleh

                                                                    (13)

Jadi,  solusi partikulir PD pada persamaan (1) adalah:

,  k(a) ¹ 0                                                                 (14)

dengan ,  dan ; ( koef. P_n(x)),      dan

Sekarang, apabila k(a) = 0, berarti P ^-1 tak terdefinisi (P matriks  singular).  Un­tuk kasus ini, dilakukan sedikit manipulasi, yakni dengan menu­runkan (mendiferen­sialkan) kedua ruas (kanan dan kiri) persamaan (10) terhadap a sebagai berikut.

atau dengan menggunakan sifat linearitas dan substitusi  k(a) = 0, diperoleh

                                                               (15)

atau

.                                                              (16)

Dengan pemisalan , , , dan

,

maka persamaan (16)  menjadi . Kemudian dengan melakukan pencoretan, diperoleh

.                                                                   (17)

Pandang matriks Q pada persamaan (17). Maka

l  Q  matriks  non singular (Q ^-1  terdefinisi ),  jika   dan  

l  Q  matriks  singular (Q ^-1  tak  terdefinisi ),  jika  .

Apabila Q matriks non singular, maka terdapat matriks in­vers , se­hingga di­peroleh:

.                                                                  (18)

Jadi dari persamaan (18), solusi partikulir PD pada persamaan (1)  menjadi:

,    dan                                         (19)

dengan  , ;  (    koef. ),    dan

 

Apabila Q matriks singular, maka tak terdapat matriks in­vers . Ini berarti . Untuk kasus ini, dilakukan sedikit manipulasi lagi, yakni dengan menurun­kan (mendiferensialkan) kedua ruas (kanan dan kiri) persamaan (15) ter­hadap a, se­hingga diperoleh solusi partikulir PD pada persamaan (1) sebagai berikut:

,    dan                                         (20)

dengan  , ;  (  koef. ),    dan

 

Rumus-rumus (14), (19) dan (20) merupakan formula-formula untuk menentu­kan solusi partikulir PD pada persamaan (1), yang sesuai dengan kondisi dari nilai-nilai . Secara umum, rumus-rumus (14), (19) dan (20) dapat ditulis sebagai berikut.

,                                                        (21)

di mana ; ; ; , dan

; ,

; ,

;

APLIKASI

Berikut ini akan diaplikasikan rumus metode Matriks pada perma­salahan yang terdapat di contoh 1, 2, dan 3.

Contoh 4

Pandang PD pada contoh 1, yaitu: . Pada PD ini, persamaan karakteristik PD homogennya adalah  dan fungsi . Fungsi , maka ,  dan a = 0. Turunan-turunan persamaan karakteristik terhadap a adalah  dan . Substitusikan  ke , diperoleh  .

Karena , maka pilih r = 1, sehingga solusi partikulir untuk PD  adalah 

dengan

Atau

.

                         

Contoh 5

Perhatikan PD pada contoh 2, yakni: . Persamaan karakteristik PD homogennya adalah  dan .

Fungsi ,  maka ,  dan .

Turunan-turunan persamaan karakteristik terhadap a adalah  dan . Substitusikan  ke , diperoleh

.

Karena , maka pilih r = 1, sehingga solusi partikulir untuk PD  adalah

,

dengan

.

Atau

Contoh 6

Pandang PD pada contoh 3.: . Persamaan karakteristik PD homogennya adakah  dan .

Fungsi , maka  dan a diperoleh dengan menggunakan identitas Euler sebagai berikut.

Dari hasil ini, diperoleh a = 1 + i.

Turunan-turunan persamaan karakteristik terhadap a adalah  dan . Substitusikan  ke , diperoleh

.

Karena , maka pilih r = 1, sehingga solusi partikulir untuk PD  adalah

,

dengan .

Atau

.

KESIMPULAN

Sebagaimana diketahui, suatu metode yang ditemukan tidak luput dari kelebihan dan kelemahan dalam penggunaannya dan tidak terkecuali metode Matriks dalam me­nentukan solusi partikulir PD Linear Orde Dua Tak Ho­mogen dengan Koefisien Kon­stanta.

Kelebihan dari metode Matriks untuk menentukan solusi partikulir PD Linear Orde Dua Tak Homogen dengan Koefisien Konstanta adalah sebagai berikut:

1.     Solusi PD homogen tidak diperlukan, dan Akar-akar karakteristik PD ho­mogen ti­dak dibutuh­kan secara lengkap, tetapi hanya menurunkan/ mendiferensialkan bentuk pada persamaan (10) secara sederhana sebanyak    k + 1 kali terhadap parameter a, dengan k merupakan kelipatan dari a sebagai akar karakteristik polinom p(a).

2.     Sistematika pengerjaan mencari solusi lebih sederhana, karena da­lam pengerjaan tinggal mensubstitusi parameter-parameter yang diketahui kedalam bentuk rumus umum dan juga tidak berhubungan dengan kon­stanta tak diketahui seperti pada me­tode Koefisien Tak Tentu dan Variasi Parameter.  Ini mengakibatkan kesalahan da­lam pengerjaan akan sangat menjadi kecil.

3.     Dengan perkembangan perangkat lunak dibidang Matematika seperti, perangkat lu­nak Mathematica dan Maple, akan sangat me­mudahkan pengerjaan dengan metode Matriks ini.  Hal ini akan menstimulir, khusus­nya mahasiswa Matematika untuk menggu­nakan perangkat lunak di­bidang Matematika.

4.     Dalam penurunan metode Matriks ini, khususnya mahasiswa Matematika, menam­bah wawasan tentang aplikasi dari konsep-kon­sep dasar Matematika, khususnya konsep Matriks, Linearitas dan Identitas Euler, pada masalah PD Linear Orde Dua tak Homugen untuk mencari solusi partikulir.

Kelemahan dari metode Matriks ini adalah sebagai berikut:

5.     Untuk dapat memahami penurunan konsep metode Matriks diperlu­kan pengeta­huan tentang metode Koefisien tak Tentu terlebih da­hulu.

6.     Apabila pengetahuan mengenai perangkat lunak Mathematica dan se­jenisnya tidak dimiliki, penyelesaian solusi Partikulir untuk PD yang mempunyai bentuk  r(x)  hasil perkalian fungsi eksponensial dengan polinom berderajat tinggi  n > 2  akan menjadi sedikit ru­mit, karena dalam proses penyelesaian akan menemukan matriks berukuran besar dalam penentuan invers matriks.

7.     Bentuk fungsi  r(x)  yang dapat diselesaikan dengan metode Matriks ini hanya ter­batas dalam bentuk-bentuk perkalian antara fungsi eksponen­sial dan polinom, karena metode ini diturunkan dari metode Koefisien tak Tentu.

PUSTAKA

1.        Agarwal, Ravi P. & Gupta, Ramesh C (1993). Essentials of Ordinary Differential Equa­tions: McGraw-Hill Book Company Singapore.

2.        Boyce, W. E. & DiPrima, R. C (1992). Elementary Differential Equa­tions and Boundary Value Problems: John Wiley & Sons, Inc. New York.

3.        Braun, Martin (1993). Differential Equations with Applications and His­torical Notes: Springer-Verlag. New York.

4.        Giordano, Frank R & Weir, Maurice D  (1991). Differential Equation (A Model­ing Ap­proach

5.        Gollwitzer, H. Matrix patern and undetermined coefficients. The Col­lege Mathematics Journal 25 no. 5 (1994); 444 - 448.

6.        Kreyszig, Erwin (1993). Advanced Engineering Mathematics: John Wiley & Sons, Inc. New York.

7.        Nababan, S.M. (1984). Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Karunika Universitas Terbuka, Jakarta.

8.        Rao, M. Rama Mohana (1981). Ordinary Differential Equations: Edward Ar­nold. London.

9.        Simmons, George F (1991). Differential Equations with Applications and His­torical Notes: McGraw-Hill, Inc. New York.

Sumber : http://pk.ut.ac.id/jmst/v1n1/zulmahdi.htm